Esse capítulo tem basicamente dois objetivos finais:

1. Apresentar o conceito de isomorfismo entre espaços vetoriais.

Esse capítulo começa definindo o que é o núcleo e a imagem de uma transformação linear, buscando chegar em dois resultados importantes.

O primeiro objetivo é bem imediato:

1. Explicitar o conjunto das soluções de um sistema linear qualquer.

Vamos supor um sistema linear, escrito em termos de transformações lineares, $Ax=b$. Se o elemento $b$ não faz parte da imagem de $A$, é evidente que o sistema não tem nenhuma solução: é um conjunto vazio. Agora, se $b$ faz parte da imagem, não é difícil de imaginar que o conjunto solução será uma variedade afim (lembre-se: um ponto é uma variedade afim). Pela notação, não é difícil imaginar que o conjunto-solução é $V=x_0+\mathcal N(A)$.

O objetivo imediato é determinar condições em que uma transformação linear é inversível à esquerda e à direita.